Obteniendo Cn = C(2n,n)/(n+1).
Obtener la expresión cerrada para los números de Catalan es un resultado fundamental en combinatoria, porque cierra la brecha entre las definiciones recursivas y el cálculo directo. Aunque la sucesión de Catalan se define seguido de forma recursiva como $C_{n} = \sum_{i=0}^{n-1} C_i C_{n-1-i}$, esta forma no es muy eficiente para valores grandes de $n$ y es difícil de usar en manipulaciones algebraicas. Obtener la fórmula cerrada te permite calcularla de inmediato y sirve como base para el análisis asintótico usando la Stirling's approximation.
La derivación más clara usa el André's Reflection Principle. Esta técnica combinatoria resuelve el problema de contar caminos "válidos" (como los Dyck paths que no cruzan una diagonal) usando el conteo complementario. En lugar de contar los caminos válidos directamente, cuenta el número total de caminos sin restricciones y resta el número de caminos "inválidos". La idea clave es establecer una biyección entre el conjunto de caminos inválidos y un conjunto de caminos con puntos finales distintos que son más fáciles de contar, "reflejando" de forma efectiva la parte difícil del problema en una que sí puedas resolver.
El $n$-ésimo número de Catalan, que escribes como $C_n$, lo calculas con la fórmula: $$ C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} $$
También lo