Funciones sobreyectivas n! × S(m,n).
La Fórmula de Sobreyectividad te sirve para calcular cuántas funciones sobreyectivas hay de un conjunto de tamaño $m$ a uno de tamaño $n$. En términos de combinatoria, esto es lo mismo que repartir $m$ objetos distintos en $n$ cajas distintas sin que ninguna caja se quede vacía. Este concepto es clave en la combinatoria enumerativa y es el mejor ejemplo para entender el Principio de Inclusión-Exclusión (PIE).
Esta fórmula es súper importante porque contar funciones sobreyectivas directamente está difícil, ya que tienes la restricción de que todos los elementos del codominio deben tener al menos una preimagen. En lugar de tratar de contar las funciones válidas de un solo golpe, es más fácil contar todas las funciones posibles y luego restar las que dejan fuera a uno o más elementos del codominio. Este camino te lleva directo a una suma alternada, que es la marca personal de la inclusión-exclusión.
Hay una conexión muy fuerte entre la Fórmula de Sobreyectividad y los Números de Stirling de Segunda Especie, que se escriben como $S(m,n)$ o $\left{ \begin{smallmatrix} m \ n \end{smallmatrix} \right}$. Los números de Stirling cuentan de cuántas formas puedes partir un conjunto de $m$ elementos en $n$ subconjuntos no vacíos e indistinguibles. Como la Fórmula de Sobreyectividad trabaja con cajas distinguibles (o sea, etiquetadas) en el codominio, el número de sobreyecciones es