Fórmula de PIE para Dos Conjuntos

Teoría

El Principio de Inclusión-Exclusión (PIE) para dos conjuntos es una técnica combinatoria fundamental que usas para calcular el tamaño de la unión de dos conjuntos finitos. Cuando quieres encontrar el número total de elementos que pertenecen a al menos uno de dos conjuntos, $A$ o $B$, una forma simple de pensarlo sería solo sumar el número de elementos en $A$ con el número de elementos en $B$. Pero este método tiene un error, porque los elementos que están en ambos conjuntos (la intersección) los estarías contando dos veces: una vez por estar en $A$ y otra por estar en $B$.

Para corregir este conteo doble, la fórmula resta el tamaño de la intersección exactamente una vez. Esto asegura que los elementos que solo están en $A$ se cuenten una vez, los que solo están en $B$ se cuenten una vez, y los que están en ambos se cuenten $1 + 1 - 1 = 1$ vez. Esta lógica de "sumar y luego restar" es la intuición principal detrás de PIE y funciona igual para más conjuntos.

Este concepto aparece en todos lados en las matemáticas de competencia, sobre todo en el AMC 10 y el AMC 12. Se aplica seguido en problemas de divisibilidad (por ejemplo, contar enteros divisibles por $x$ o $y$), geometría (áreas que se enciman) y categorías lógicas (como estudiantes que toman francés o español). Dominar el caso de dos conjuntos es el primer paso para entender la inclusión-exclusión general y las estrategias de conteo por complemento.

Fórmulas Clave

La fórmula fundamental para el Principio de Inclusión-Exclusión con dos conjuntos $A$ y $B$ es: $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Puedes reacomodar esta ecuación para despejar la intersección si ya conoces la unión: $$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$$

Si los conjuntos son ajenos (mutuamente excluyentes), o sea que $|A \cap B| = 0$, la fórmula se simplifica a la Regla de la Suma: $$|A \cup B| = |A| + |B|$$

En el contexto de un conjunto universal $U$, donde quieres contar los elementos que no están en ninguno de los dos conjuntos, usas el complemento: $$|(A \cup B)^c| = |U| - |A \cup B| = |U| - (|A| + |B| - |A \cap B|)$$

Demostración

Aquí tienes una demostración contando cuánto aporta un elemento cualquiera $x$ a cada lado de la ecuación. Digamos que $S = A \cup B$. Lo que hay que mostrar es que el conteo de elementos del lado izquierdo (LHS) es igual al del lado derecho (RHS).

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Toma un elemento $x$ cualquiera del conjunto universal. Analiza cuánto aporta $x$ al conteo total dependiendo de a qué conjuntos pertenezca. Hay tres casos distintos para un elemento $x \in A \cup B$:

Caso 1: $x \in A$ y $x \notin B$

• LHS: Como $x \in A$, entonces está en $A \cup B$. Aporta 1 al conteo.
• RHS: $x$ se cuenta en $|A|$, no se cuenta en $|B|$ y tampoco en $|A \cap B|$.
  • Aportación: $1 + 0 - 0 = \mathbf{1}$.

Caso 2: $x \notin A$ y $x \in B$

• LHS: Como $x \in B$, entonces está en $A \cup B$. Aporta 1 al conteo.
• RHS: $x$ no se cuenta en $|A|$, se cuenta en $|B|$ y no se cuenta en $|A \cap B|$.
  • Aportación: $0 + 1 - 0 = \mathbf{1}$.

Caso 3: $x \in A$ y $x \in B$

• LHS: Como $x$ está en ambos, está en $A \cup B$. Aporta 1 al conteo.
• RHS: $x$ se cuenta en $|A|$, se cuenta en $|B|$ y se cuenta en $|A \cap B|$.
  • Aportación: $1 + 1 - 1 = \mathbf{1}$.

En los tres casos, el elemento $x$ aporta exactamente 1 a la suma del RHS, lo cual coincide con lo que aporta al LHS. Los elementos que no están ni en $A$ ni en $B$ aportan 0 a ambos lados. Por lo tanto, la igualdad se cumple.

$\square$