V - E + F = 2 para gráficas planas conexas.
La Fórmula de Euler es un teorema fundamental en la teoría de grafos y topología que establece una relación constante entre los elementos de un grafo planar conexo. Para cualquier grafo conexo que dibujes en el plano sin que sus aristas se crucen, la fórmula relaciona el número de vértices ($V$), aristas ($E$) y caras ($F$). A una región delimitada por aristas la definimos como una "cara", e incluimos también a la región exterior que no está acotada. El teorema dice que la suma alternada de estas cantidades siempre es la misma: $V - E + F = 2$. Esta relación también se cumple para cualquier poliedro convexo (como un cubo o un tetraedro), ya que los puedes proyectar en un plano para formar un grafo planar (llamado diagrama de Schlegel).
En las matemáticas de competencia, la Fórmula de Euler es tu herramienta principal para analizar grafos planares. Es esencial para demostrar que ciertos grafos (como $K_5$ o $K_{3,3}$) no son planares. Más importante aún, te da cotas superiores muy estrictas para el número de aristas que un grafo planar puede tener en relación con sus vértices. Esta restricción de "dispersión" la vas a usar seguido en problemas de combinatoria de AIME y USAMO para encontrar contradicciones o acotar variables en problemas de coloración, teselado y configuraciones geométricas.
Puedes entender la intuición detrás de la fórmula con un proceso de construcción. Si empiezas con