1/(1-x), 1/(1-x)², etc.
La Función Generatriz Ordinaria (FGO) de una sucesión $a_0, a_1, a_2, \dots$ es la serie de potencias formal $A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$. En el contexto de las olimpiadas de matemáticas, las "sucesiones básicas" son las funciones racionales fundamentales —específicamente potencias de binomios como $(1-x)^{-k}$— que sirven como los bloques de construcción para problemas combinatorios más complejos. Estas funciones te permiten comprimir una sucesión infinita de números en una expresión algebraica compacta (una forma cerrada), lo que facilita operaciones como la convolución, la suma y la resolución de relaciones de recurrencia lineales.
La idea más importante en este tema es la relación entre la manipulación algebraica de $1/(1-x)^k$ y el problema combinatorio de distribuir objetos en cajas (Separadores o Stars and Bars). Mientras que $1/(1-x)$ genera la sucesión de puros unos, elevar esta función a la $k$-ésima potencia genera los coeficientes binomiales $\binom{n+k-1}{k-1}$. Esta conexión une el álgebra con la combinatoria: multiplicar la función generatriz por $1/(1-x)$ equivale a tomar las sumas parciales de la sucesión original, y el coeficiente de $x^n$ en $(1-x)^{-k}$ cuenta el número de soluciones