FGE para permutaciones y arreglos.
Las Funciones Generatrices Exponenciales (FGEs) son la herramienta algebraica principal para contar estructuras combinatorias etiquetadas. A diferencia de las Funciones Generatrices Ordinarias (FGOs), que normalmente usas para objetos no etiquetados (como las particiones de un entero), las FGEs están diseñadas para estructuras donde los átomos individuales son distintos y los puedes diferenciar, como los grafos con vértices ${1, 2, \dots, n}$ o las permutaciones de un conjunto específico. La característica que define a una FGE para una sucesión $a_n$ es que incluye $n!$ en el denominador de los términos de la serie de potencias: $A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}$.
El gran fuerte de las FGEs es cómo manejan el "reetiquetado" de los componentes. Cuando combinas dos estructuras etiquetadas para formar una más grande, tienes que decidir no solo qué estructuras usar, sino también cómo distribuir las etiquetas distintas entre ellas. La multiplicación de FGEs genera automáticamente los coeficientes binomiales que necesitas para esta distribución. Específicamente, si multiplicas dos FGEs, el coeficiente de la serie resultante corresponde a dividir el conjunto de etiquetas en dos conjuntos ajenos, formando una estructura del primer tipo en el primer conjunto y una del segundo tipo en el segundo.
Esta técnica es fundamental en la combinatoria avanzada de olimpiadas.