El SG del juego combinado es el XOR.
En el estudio de juegos imparciales bajo la convención de juego normal (donde el último jugador en mover gana), muchas veces puedes descomponer posiciones complejas en varios subjuegos más pequeños e independientes. A esta estructura la conocemos como una suma disyuntiva de juegos. En una suma disyuntiva, el turno de un jugador consiste en elegir exactamente uno de los subjuegos disponibles y hacer un movimiento legal dentro de ese subjuego específico. El juego termina cuando un jugador ya no puede hacer ningún movimiento en ninguno de los subjuegos.
El Teorema de Sprague-Grundy es la herramienta fundamental para analizar estos juegos combinados. Dice que todo juego imparcial bajo la convención de juego normal es equivalente a una pila de Nim de cierto tamaño. A este tamaño lo llamamos el valor de Sprague-Grundy (o simplemente el valor Grundy o valor-nim) del estado del juego. El poder de este teorema está en cómo se combinan estos valores: el valor de Sprague-Grundy de una suma disyuntiva de juegos es igual a la suma-Nim (la suma XOR bit a bit) de los valores de Sprague-Grundy de los juegos que la componen.
Este resultado reduce el análisis de juegos complejos y compuestos al cálculo de valores Grundy para componentes más pequeños y simples. En lugar de mapear un espacio de estados gigante para el juego combinado, calculas el valor Grundy $g(S)$ para cada subjuego $S$. Si la suma XOR de estos