(n-1)! formas de acomodar n objetos en un círculo.
Las permutaciones circulares tratan sobre cómo acomodar objetos distintos en un círculo. A diferencia de las permutaciones lineales, donde hay una posición clara de "inicio" y "final" (como una fila de personas), los arreglos circulares no tienen un punto de partida fijo. En este contexto, vas a considerar que dos arreglos son idénticos si puedes obtener uno rotando el otro. Por ejemplo, si las personas A, B y C se sientan alrededor de una mesa, el arreglo (A, B, C) es el mismo que (B, C, A) y (C, A, B) porque las posiciones relativas de cada quien no cambian.
Este concepto es fundamental en combinatoria porque introduce la idea de clases de equivalencia bajo grupos de simetría. Para contar permutaciones circulares, tienes que tomar en cuenta la simetría rotacional que hace que cuentes de más los arreglos distintos. Una forma muy intuitiva de resolver estos problemas es "fijar" un objeto en una posición específica para romper esa simetría rotacional. Una vez que fijas un objeto, los lugares que quedan se vuelven distintos respecto a ese objeto, lo que convierte el problema circular en uno de permutación lineal para el resto de las cosas.
Las permutaciones circulares aparecen seguido en competencias como el AMC 10/12 y el AIME. Sirven como base para temas más complejos, como los problemas de collares (o pulseras), donde los arreglos son equivalentes tanto por rotación como por reflexión (voltearlos), y problemas que usan aritmética modular o teoría de grupos (Lema de Burnside).
Permutaciones Circulares Básicas El número de formas distintas de acomodar $n$ objetos diferentes en un círculo es: $$ P_{circle} = (n-1)! $$
$r$-Permutaciones Circulares El número de formas de elegir $r$ objetos de un conjunto de $n$ objetos distintos y acomodarlos en un círculo es: $$ \frac{P(n, r)}{r} = \frac{n!}{r(n-r)!} $$
Simetría de Reflexión (Problemas de Collares/Pulseras) Si puedes voltear el arreglo (es decir, si el orden en sentido horario y antihorario es el mismo), el número de arreglos distintos de $n$ objetos ($n \geq 3$) es: $$ N_{necklace} = \frac{(n-1)!}{2} $$
Teorema: El número de permutaciones circulares distintas de $n$ objetos diferentes es $(n-1)!$.
Demostración: Imagina que $S$ es el conjunto de $n$ objetos distintos. Lo que quieres es encontrar el número de arreglos circulares distintos, al que le diremos $C_n$.
Piensa en los arreglos lineales: Primero, piensa en cuántas formas hay de acomodar estos $n$ objetos en una línea recta. Por la definición básica de permutaciones lineales, ya sabes que esto es $n!$.
Establece clases de equivalencia: En un arreglo lineal, la posición importa de forma absoluta (posición 1, posición 2, ..., posición $n$). Pero en un arreglo circular, solo importa la posición relativa. Digamos que un arreglo lineal lo escribimos como la secuencia $(a_1, a_2, \dots, a_n)$. Si doblas esta línea para formar un círculo, los siguientes $n$ arreglos lineales dan como resultado exactamente el mismo arreglo circular debido a la rotación: $$ \begin{aligned} &(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n) \ &(a_2, a_3, \dots, a_n, a_1) \ &(a_3, \dots, a_n, a_1, a_2) \ &\vdots \ &(a_n, a_1, a_2, \dots, a_{n-1}) \end{aligned} $$ Como hay $n$ posiciones en la secuencia, hay exactamente $n$ desplazamientos lineales (rotaciones) que corresponden a una sola permutación circular.
Aplica la regla de la división: Como cada arreglo circular único corresponde a exactamente $n$ arreglos lineales distintos, tienes una relación de $n$ a 1 entre el conjunto de permutaciones lineales y el de permutaciones circulares.
Por lo tanto, el número total de permutaciones circulares $C_n$ es el total de permutaciones lineales dividido entre $n$: $$ C_n = \frac{n!}{n} $$
Simplifica: $$ C_n = \frac{n \times (n-1)!}{n} = (n-1)! $$
Razonamiento alternativo del "punto fijo": Elige cualquier objeto de los $n$ disponibles. Ponlo en cualquier lugar del círculo. Como el círculo se puede rotar, no importa qué asiento elijas; esto solo sirve para establecer un punto de referencia. Una vez que fijas este objeto, los $n-1$ lugares que quedan se vuelven distintos respecto a él (por ejemplo: "primer asiento a la derecha", "segundo asiento a la derecha"). Acomodar los $n-1$ objetos restantes en estos lugares distintos es equivalente a una permutación lineal de $n-1$ objetos, que es $(n-1)!$.
$\square$