Usa la identidad en problemas de conteo.
La Identidad de Vandermonde (que seguro te vas a encontrar como la Convolución de Vandermonde) es un resultado fundamental en combinatoria que relaciona la suma de productos de coeficientes binomiales con un solo coeficiente binomial. Esta identidad te da una herramienta súper potente para simplificar sumas combinatorias, sobre todo en esas donde el índice de la suma aparece en el índice inferior de dos coeficientes binomiales, mientras que la suma de estos índices inferiores siempre es la misma. En concursos de matemáticas como el AIME o el USAMO, reconocer la estructura de una suma de Vandermonde te permite reducir una suma que parece imposible de calcular a un solo término muy sencillo.
La idea principal detrás de la identidad es un argumento de "doble conteo" con dos grupos distintos. Si quieres elegir un comité de tamaño $r$ de un grupo que tiene $m$ hombres y $n$ mujeres, puedes simplemente escoger a $r$ personas del total de $m+n$ personas. Otra forma es dividir la elección en casos según cuántos hombres y mujeres haya en el comité: eliges $k$ hombres de los $m$ disponibles y las $r-k$ mujeres restantes de las $n$ disponibles. Si sumas estos casos que no se traslapan para todos los valores posibles de $k$, te tiene que dar el mismo total que la elección directa.
Esta técnica es clave no solo para calcular sumas, sino también para demostrar otras identidades combinatorias y resolver problemas de probabilidad con distribuciones hipergeométricas.