Usa esta regla en problemas de sumatorias.
La Identidad del Palo de Hockey, también conocida como la Identidad del Calcetín de Navidad, es una herramienta combinatoria muy poderosa que sirve para simplificar sumas de coeficientes binomiales. Visualmente, si resaltas los términos de la suma en el Triángulo de Pascal, forman una línea diagonal que empieza en un borde (el "mango" del palo). El resultado de la suma es el término que está diagonalmente abajo del último término de la suma (la "pala" del palo). Esta interpretación geométrica te permite identificar rápido patrones de sumas que de otra forma requerirían manipulaciones algebraicas complejas.
En matemáticas de competencia como el AMC 12 y el AIME, esta identidad la vas a usar seguido para resolver problemas de sumas donde el índice superior del coeficiente binomial cambia mientras el índice inferior se queda igual (o al revés, dependiendo de la propiedad de simetría que uses). Es especialmente útil en problemas de conteo que usan "separadores" (stars and bars) con restricciones, para sumar series de coeficientes polinomiales o para juntar casos en problemas de conteo constructivo. El truco está en reconocer que una suma de combinaciones muchas veces representa una sola combinación de un conjunto más grande, reduciendo efectivamente una serie de elecciones a una sola elección global.
La forma estándar de la Identidad del Palo de Hockey es:
$$ \sum_{i=r}^{n} \binom{i}{r} = \binom{r$$