Cuenta permutaciones según sus ciclos.
Los números de Stirling de primera especie, que normalmente lo escribimos como $\left[ \begin{smallmatrix} n \ k \end{smallmatrix} \right]$ (lo leemos como "$n$ ciclo $k$"), cuentan de cuántas formas puedes acomodar $n$ elementos distintos en exactamente $k$ ciclos ajenos. En el contexto de las permutaciones, como puedes descomponer cada permutación de forma única en ciclos ajenos, $\left[ \begin{smallmatrix} n \ k \end{smallmatrix} \right]$ representa la cantidad de permutaciones de un conjunto de tamaño $n$ que tienen exactamente $k$ ciclos. Por ejemplo, si tomas el conjunto ${1, 2, 3}$, las permutaciones con 2 ciclos son $(1)(23)$, $(2)(13)$ y $(3)(12)$, así que $\left[ \begin{smallmatrix} 3 \ 2 \end{smallmatrix} \right] = 3$.
Estos números sirven como un puente súper importante entre estructuras combinatorias y polinomios algebraicos. Mientras que los números de Stirling sin signo cuentan ciclos, los números de Stirling de primera especie con signo aparecen como los coeficientes cuando expandes polinomios de factoriales decrecientes (como $x(x-1)(x-2)\dots$) en potencias estándar de $x$. Por otro lado, relacionan el factorial creciente $x(x+1)\dots(x+n-