Dado un entero $n \geq 3$ , sea $S =\{p_1, p_2, \cdots, p_m\}$ que consta de permutaciones $p_i$ de $(1, 2, \cdots, n)$ . Suponga que entre cada tres números distintos en $\{1, 2, \cdots, n\}$ , uno de estos números no se encuentra entre los otros dos números en cada permutación $p_i$ ( $1 \leq i \leq m$ ) . (Por ejemplo, en la permutación $(1, 3, 2, 4)$ , $3$ se encuentra entre $1$ y $4$ , y $4$ no se encuentra entre $1$ y $2$ . ) Determine el valor máximo de $m$ .