La secuencia $\{a_n\}$ satisface $a_1 = \frac{1}{2}$ , $a_2 = \frac{3}{8}$ , y $a_{n + 1}^2 + 3 a_n a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} (a_n + a_{n + 2}) (n \in \mathbb{N^*})$ . $(1)$ Determine la fórmula general de la secuencia $\{a_n\}$ ; $(2)$ Pruebe que para cualquier entero positivo $n$ , existe $0 < a_n < \frac{1}{\sqrt{2n + 1}}$ .