Hay $n$ bolas numeradas $1,2,\cdots,n$, respectivamente. Están pintadas con $4$ colores, rojo, amarillo, azul y verde, de acuerdo con las siguientes reglas: Primero, colóquelas aleatoriamente en un círculo. Luego, sean tres bolas consecutivas en el sentido de las agujas del reloj numeradas $i, j, k$, en orden. 1) Si $i>j>k$, entonces la bola $j$ se pinta de rojo; 2) Si $i<j<k$, entonces la bola $j$ se pinta de amarillo; 3) Si $i<j, k<j$, entonces la bola $j$ se pinta de azul; 4) Si $i>j, k>j$, entonces la bola $j$ se pinta de verde. Y ahora cada permutación de las bolas determina un método de pintura. Llamamos a dos métodos de pintura distintos, si existe una bola, que se pinta con dos colores diferentes en esos dos métodos. Determine el número de todos los métodos de pintura distintos.