Sea $\alpha > 1$ un número irracional y $L$ un entero tal que $L > \frac{\alpha^2}{\alpha - 1}$ . Una secuencia $x_1, x_2, \cdots$ satisface que $x_1 > L$ y para todos los enteros positivos $n$ , \[ x_{n+1} = \begin{cases} \left \lfloor \alpha x_n \right \rfloor & \textup{si} \; x_n \leqslant L \\\left \lfloor \frac{x_n}{\alpha} \right \rfloor & \textup{si} \; x_n > L \end{cases}. \] Pruebe que (i) $\left\{x_n\right\}$ es eventualmente periódica. (ii) El período fundamental eventual de $\left\{x_n\right\}$ es un entero impar que no depende de la elección de $x_1$ .