Encuentre la constante máxima $ M$ , tal que para un entero arbitrario $ n\geq 3,$ existen dos secuencias de números reales positivos $ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},$ y $ b_{1},b_{2},\cdots,b_{n},$ que satisfacen (1) : $ \sum_{k = 1}^{n}b_{k} = 1,2b_{k}\geq b_{k - 1} + b_{k + 1},k = 2,3,\cdots,n - 1;$ (2) : $ a_{k}^2\leq 1 + \sum_{i = 1}^{k}a_{i}b_{i},k = 1,2,3,\cdots,n, a_{n}\equiv M$ .