Sean $a$ , $b$ , $c$ y $d$ enteros positivos tales que se cumplan las siguientes dos desigualdades: $a < 10^{20} \cdot c$ y $b > 10^{23} \cdot d$ . Determine el valor mínimo posible del número total de pares de enteros positivos $(n, m)$ para los cuales $n \cdot m = 2^{2023}$ y $$ \frac {ab}{n} + \frac{cd}{m} < \frac{(a + c)(b + d)}{n + m}$$