Para un entero $m\geq 1$ , consideramos particiones de un tablero de ajedrez de $2^m\times 2^m$ en rectángulos que consisten en celdas del tablero de ajedrez, en el que cada una de las $2^m$ celdas a lo largo de una diagonal forma un rectángulo separado de longitud lateral $1$ . Determine la suma más pequeña posible de los perímetros de los rectángulos en tal partición.