Lucy comienza escribiendo $s$ -tuplas de enteros con valor $2022$ en una pizarra. Después de hacer eso, ella puede tomar cualesquiera dos (no necesariamente distintas) tuplas $\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_{2022})$ y $\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_{2022})$ que ella ya ha escrito, y aplicar una de las siguientes operaciones para obtener una nueva tupla: \begin{align*} \mathbf{v}+\mathbf{w}&=(v_1+w_1,\ldots,v_{2022}+w_{2022}) \\ \mathbf{v} \lor \mathbf{w}&=(\max(v_1,w_1),\ldots,\max(v_{2022},w_{2022})) \end{align*} y luego escribir esta tupla en la pizarra. Resulta que, de esta manera, Lucy puede escribir cualquier -tupla de enteros con valor $2022$ en la pizarra después de un número finito de pasos. ¿Cuál es el número $s$ más pequeño posible de tuplas que ella inicialmente escribió?