Para un entero positivo $k,$ decimos que es un entero Tauro si podemos eliminar un elemento del conjunto $M_k=\{1,2,\cdots,k\},$ tal que la suma de los $k-1$ elementos restantes es un cuadrado perfecto positivo. Por ejemplo, $7$ es un entero Tauro, porque si eliminamos $3$ de $M_7=\{1,2,3,4,5,6,7\},$ la suma de los $6$ elementos restantes es $25,$ que es un cuadrado perfecto positivo. $(1)$ Determine si $2021$ es un entero Tauro. $(2)$ Para un entero positivo $n,$ determine el número de enteros Tauro en $\{1,2,\cdots,n\}.$