Si $p$ es un primo entonces tenemos que $$1^n+2^n+\cdots +(p-1)^n$$ es $1$ si $p-1\mid n$ y es $0$ si no. Esto les deberia recordar a la suma de raices de la unidad, porque es lo mismo. Pues modulo $p$ tenemos una raiz primitiva $\omega$ y entonces todas las sumas que vemos ahi son $1+\omega^{n}+\omega^{2n}+\cdots+\omega^{(p-2)n}$.