Sea $\left(x_{n}\right)$ una sucesión real que satisface $x_{0}=0$, $x_{2}=\sqrt[3]{2}x_{1}$ y $x_{n+1}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}x_{n}+\sqrt[3]{4}x_{n-1}+\frac{1}{2}x_{n-2}$ para cada entero $n\geq 2$, y tal que $x_{3}$ es un entero positivo. Encuentre el número mínimo de enteros que pertenecen a esta secuencia.