Denotemos por $\left(ABC\right)$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$. Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles con $AB=AC=1$ y $\measuredangle CAB=90^{\circ}$. Sea $D$ el punto medio del lado $BC$, y sean $E$ y $F$ dos puntos en el lado $BC$. Sea $M$ el punto de intersección de las circunferencias $\left(ADE\right)$ y $\left(ABF\right)$ (aparte de $A$). Sea $N$ el punto de intersección de la línea $AF$ y la circunferencia $\left(ACE\right)$ (aparte de $A$). Sea $P$ el punto de intersección de la línea $AD$ y la circunferencia $\left(AMN\right)$. Encuentre la longitud de $AP$.