Definir la función $f:(0,1)\to (0,1)$ por \[\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x+\frac 12 & \text{si}\ \ x < \frac 12\\ x^2 & \text{si}\ \ x \ge \frac 12 \end{array} \right.\] Sean $a$ y $b$ dos números reales tales que $0 < a < b < 1$ . Definimos las sucesiones $a_n$ y $b_n$ por $a_0 = a, b_0 = b$ , y $a_n = f( a_{n -1})$ , $b_n = f (b_{n -1} )$ para $n > 0$ . Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que \[(a_n - a_{n-1})(b_n-b_{n-1})<0.\]