Un entero positivo $a$ se llama un número doble si tiene un número par de dígitos (en base 10) y su representación en base 10 tiene la forma $a = a_1a_2 \cdots a_k a_1 a_2 \cdots a_k$ con $0 \le a_i \le 9$ para $1 \le i \le k$ , y $a_1 \ne 0$ . Por ejemplo, $283283$ es un número doble. Determina si hay o no infinitos números dobles $a$ tales que $a + 1$ es un cuadrado y $a + 1$ no es una potencia de $10$ .