Sea $n$ un entero positivo. Dada una sucesión $\varepsilon_1$ , $\dots$ , $\varepsilon_{n - 1}$ con $\varepsilon_i = 0$ o $\varepsilon_i = 1$ para cada $i = 1$ , $\dots$ , $n - 1$ , las sucesiones $a_0$ , $\dots$ , $a_n$ y $b_0$ , $\dots$ , $b_n$ se construyen mediante las siguientes reglas: \[a_0 = b_0 = 1, \quad a_1 = b_1 = 7,\] \[\begin{array}{lll}\n\t a_{i+1} = \n\t \begin{cases}\n\t\t 2a_{i-1} + 3a_i, \\\n\t\t 3a_{i-1} + a_i, \n\t \end{cases} & \n\t \begin{array}{l} \n\t\t\t \text{si } \varepsilon_i = 0, \\\n\t\t\t \text{si } \varepsilon_i = 1, \end{array} \n\t & \text{para cada } i = 1, \dots, n - 1, \\\\n\t b_{i+1}= \n\t \begin{cases}\n\t\t 2b_{i-1} + 3b_i, \\\n\t\t 3b_{i-1} + b_i, \n\t \end{cases} & \n\t \begin{array}{l} \n\t\t\t \text{si } \varepsilon_{n-i} = 0, \\\n\t\t\t \text{si } \varepsilon_{n-i} = 1, \end{array} \n\t & \text{para cada } i = 1, \dots, n - 1.\n\t\end{array}\] Demuestre que $a_n = b_n$ .