Los enteros $1, 2, \cdots, n^2$ son colocados en los campos de un tablero de ajedrez de $n \times n$ $(n > 2)$ de tal manera que dos campos cualesquiera que tienen un borde común o un vértice se les asignan números que difieren en a lo más $n + 1$. ¿Cuál es el número total de tales colocaciones?