Sea $\{a_n\}$ una secuencia de enteros que satisfacen las siguientes condiciones. \n$a_1=2021^{2021}$ \n$0 \le a_k < k$ para todos los enteros $k \ge 2$ \n$a_1-a_2+a_3-a_4+ \cdots + (-1)^{k+1}a_k$ es múltiplo de $k$ para todos los enteros positivos $k$ . \nDetermine el término $2021^{2022}$-ésimo de la secuencia $\{a_n\}$ .