Denotemos $f(1)=a$ , y pongamos $m=n=1$ , por lo tanto $f(f(k))=a^{2}k$ y $f(ak^{2})=f^{2}(k)$ , $\forall k \in \mathbb{N}$ . Así que ahora, tenemos: $f^{2}(x) f^{2}(y)=f^{2}(x)f(ay^{2})=f(x^{2}f(f(ay^{2})))=$ $=f(x^{2}a^{3}y^{2})=f(a(axy)^{2})=f^{2}(axy)$ $\iff f(axy)=f(x)f(y) \Rightarrow f(ax)=af(x)$ $\iff af(xy)=f(x)f(y) , \forall x,y \in \mathbb{N}$ . Ahora podemos probar fácilmente que $f(x)$ es divisible por $a$ para cada $x$ , más probablemente tenemos que $f^{k}(x)=a^{k-1}\cdot f(x^{k})$ es divisible por $a^{k-1}$ . Para probar la aseveración anterior consideramos $p^{\alpha}$ y $p^{\beta}$ las potencias exactas de un primo $p$ que dividen a $f(x)$ y $a$ respectivamente, por lo tanto $k\alpha \geq (k-1)\beta , \forall k \in \mathbb{N}$ , por lo tanto $\alpha\geq \beta$ , así que $f(x)$ es divisible por $a$ . Ahora solo consideramos la función $g(x)=\frac{f(x)}{a}$ . Entonces: $g(1)=1, g(xy)=g(x)g(y), g(g(x))=x$ . Dado que $g(x)$ respeta la condición inicial del problema y $g(x)\leq f(x)$ , afirmamos que es suficiente encontrar el valor mínimo de $g(1998)$ . Dado que $g(1998)=g(2 \cdot 3^{3}\cdot 37) =g(2) \cdot g^{3}(3)\cdot g(37)$ , y $g(2),g(3),g(37)$ son números primos distintos (la prueba sigue fácilmente), tenemos que $g(1998)$ , no es menor que $2^{3}\cdot 3 \cdot 5=120$ . Pero $g$ siendo una biyección, el valor $120$ , se obtiene para cualquier $g$ , así que tenemos que $g(2)=3, g(3)=2, g(5)=37, g(37)=5$ , por lo tanto la respuesta es $120$ , y por lo tanto el problema está resuelto!