Sea $P$ un polinomio mónico de grado impar mayor que uno tal que existe una función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que para cada $x \in \mathbb{R}$ , \[f(P(x))=P(f(x))\] (a) Demuestre que hay un número finito de números naturales en el rango de $f$ . (b) Demuestre que si $f$ no es constante entonces la ecuación $P(x)-x=0$ tiene al menos dos soluciones reales. (c) Para cada natural $n>1$ demuestre que existe una función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$ y un polinomio mónico de grado impar mayor que uno $P$ tal que para cada $x \in \mathbb{R}$ , \[f(P(x))=P(f(x))\] y el rango de $f$ contiene exactamente $n$ números diferentes.