En $\triangle ABC, BC=a, CA=b, AB=c,$ y $\Gamma$ es su circunferencia circunscrita. $(1)$ Determine una condición necesaria y suficiente sobre $a,b$ y $c$ si existe un único punto $P(P\neq B, P\neq C)$ en el arco $BC$ de $\Gamma$ que no pasa por el punto $A$ tal que $PA=PB+PC$ . $(2)$ Sea $P$ el único punto indicado en $(1)$ . Si $AP$ biseca a $BC$ , demuestre que $\angle BAC<60^{\circ}$ .