Determine el mayor entero positivo $k$ que satisface la siguiente propiedad: El conjunto de enteros positivos se puede dividir en $k$ subconjuntos $A_1, A_2, \ldots, A_k$ tal que para todos los enteros $n \geq 15$ y todos los $i \in \{1, 2, \ldots, k\}$ existen dos elementos distintos de $A_i$ cuya suma es $n.$