Sea $k$ un número real positivo. En el plano de coordenadas $X-Y$, sea $S$ el conjunto de todos los puntos de la forma $(x,x^2+k)$ donde $x\in\mathbb{R}$. Sea $C$ el conjunto de todos los círculos cuyo centro se encuentra en $S$, y que son tangentes al eje $X$. Encuentre el valor mínimo de $k$ tal que dos círculos cualesquiera en $C$ tienen al menos un punto de intersección.